아래 부정적분은,

$$ \int_0^1 {{dx \over \sqrt{1-x^2}} } $$

$x=\sin u$로 치환하여 풀 수 있다. ($dx=\cos u \, du$)

$$ {\int_0^1 {{dx \over \sqrt{1-x^2}}}} ={\int_0^{\pi/2} {{\cos u \, du} \over {\cos u} }}= {\pi \over 2} $$

별 것(?) 없어 보이는 적분에 왜 뜬금없이 원주율이 나올까? 그 의미를 찾아보자.

• $P(P_x, P_y)$: $y=\sqrt {1-x^2}$ 위의 한 점
• $A(0, P_y)$: $P$에서 $y$축에 내린 수선의 발
• $B(P_x, 0)$: $P$에서 $x$축에 내린 수선의 발
• $C(P_x, 1/\sqrt{1-P_x^2})$: $\overline{BP}$의 연장선이 $y = {1 / \sqrt{1-x^2}}$ 와 만나는 점

각 선분의 길이는 아래와 같다.

$$ \begin{split} \overline{PA} &= P_x \\ \overline{PB} &= P_y \\ \overline{PC} &= {1 \over P_y} - P_y = {{1-P_y^2} \over {P_y}} = {{P_x^2} \over {P_y}}

\end{split} $$

이제 다음과 같은 미소선분과 면적을 생각하자.